PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 47
Para la resolución de este problema conviene utilizar la norma del supremo:
    \(\|(x,y) - (x',y')\| = \sup \{|x-x'|, |y-y'|\} \)
Para que la función sea continua se ha de cumplir:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \forall \varepsilon > 0 \; \exists \; \vartheta > 0 / \textrm{ si } \|(x,y) - (x',y')\| < \vartheta \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow |f(x,y) - f(x',y')| < \varepsilon
    \end{array} \)
Para demostrar esto consideramos varios casos: Primero.- f(x,y) = x, suponiendo \(x \geq y \) podemos tener entonces
    \(\begin{array}{l} i.- f(x',y') = x' \quad \textrm{ poniendo } x' \geq y' \\  \\ ii.- f(x',y') = y' \quad \textrm{ poniendo } y' \geq x' \end{array} \)
De donde hacemos:
    \(\begin{array}{l}
    1,i .- |f(x,y) - f(x',y')| = |x-x'| \leq
     \\
    \leq \sup \{|x-x'|, |y-y'|\} = \|(x,y) - (x',y')\|
    \end{array} \)
Con lo que se cumple:

    \(\begin{array}{l} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \; \vartheta > 0 / \textrm{ si } \|(x,y) - (x',y')\| < \vartheta \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow |f(x,y) - f(x',y')| <\vartheta = \varepsilon\\  \\  \\ 1,ii .- |f(x,y) - f(x',y')| = |x-y'| \begin{array}{c}
    a \\ \leq \end{array} |x-x'|\leq \\  \\ \leq \sup \{|x-x'|, |y-y'|\} = \|(x,y) - (x',y')\| \end{array} \)

(a).- Puesto que \(y' \geq x' \) y puesto que x no varía, el paso (a) es trivial.

Segundo.- f(x,y) = y, es decir y > x, y considerando los mismos apartados que antes:

    \( \begin{array}{l} 2,i .- |f(x,y) - f(x',y')| = |y-x'| \leq |y-y'|\leq  \\ \leq \sup \{|x-x'|, |y-y'|\} = \|(x,y) - (x',y')\| \end{array} \)
Y la condición se cumple tomando \(\varepsilon = \vartheta \) como en los caso anteriores.
    \(\begin{array}{l}
    2,ii .- |f(x,y) - f(x',y')| = |y-y'|\leq
     \\
    \leq \sup \{|x-x'|, |y-y'|\} = \|(x,y) - (x',y')\|
    \end{array} \)
Tomando aquí también \(\varepsilon = \vartheta \) , la condición para ser uniformemente continua se cumple en todos los casos.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás