PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Estudiar la continuidad uniforme de la siguiente función de dos variables:
    \( \displaystyle f(x,y) = x + \frac{y}{x} ; \textrm{ definida en } R^2 - \{(0,y)/ y \in R\}\)
Respuesta al ejercicio 46

Para el caso de una función de varias variables, la continuidad uniforme se define de igual forma que para una sola variable.

Consideremos en primer lugar los puntos de la forma,

    \(\displaystyle (x_n, y_n)= \left(\frac{1}{n}, 1\right)\; ; \; (x'_n, y'_n) = \left(\frac{1}{n+1}, 1\right) \)
Los cuales evidentemente pertenecen al dominio de la función. Para estos puntos podemos poner:

    \(\displaystyle \|(x_n, y_n) - (x'_n, y'_n)\| = \sqrt{\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}} = \sqrt{\frac{1}{n(n+1)}} \)

Y la expresión tiende a 0 cuando \(n \rightarrow \infty \)

Podemos ver, sin embargo, que se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    |(x_n, y_n) - (x'_n, y'_n)| = \left|\left(\frac{1}{n}+ n\right)- \left(\frac{1}{n+1}+ n+1\right) \right| = \\
     \\
    = \left|\frac{1}{n(n+1)}- 1 \right| = 1- \frac{1}{n(n+1)}\qquad (a)
    \end{array} \)

Es decir, que si tomamos \(\varepsilon = \frac{1}{2} \) y ponemos la condición \(1-1/n(n+1) >\frac{1}{2} \) resulta: \(1/n(n+1)<\frac{1}{2} =\varepsilon \) y en esas condiciones existen N y M tales que:

    \(\displaystyle \frac{1}{N(N+1)} < \frac{1}{2}\quad ; \quad \frac{1}{M(M+1)} < \frac{1}{2} \)

Puesto que la sucesión 1/n(n+1) tiende a cero cuando n tiende a \(\infty \) , y para los que se cumple:

    \(\displaystyle \left|f(x_N, y_N) -f(x_M, y_M) \right| > \varepsilon \)

Según hemos visto en (a)

Por todo lo dicho podemos concluir diciendo que la función estudiada no es uniformemente continua.

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tema escrito por: José Antonio Hervás