PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado en

Problemas de continuidad de funciones

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 45

Se dice que una función de una variable es uniformemente continua si es continua y cumple:

    \( \forall \; \varepsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 : \forall x \wedge y \in (x-\varepsilon , x + \varepsilon) \cap E \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon \)

O dicho de otro modo:

    \(\forall \; \varepsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 : \forall x , y \textrm{ si es } |x-y| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon \)

La diferencia entre continuidad en un conjunto y continuidad uniforme es que en ésta, vale para cualquier par de puntos x,y; es decir, \( \alpha\) solo es función de \(\varepsilon \) lo que no ocurre en el primer caso que \(\alpha \) es función de \(\varepsilon \) y x, es decir \(\alpha = \alpha(\varepsilon, x) \) .

Veamos si f(x) es uniformemente continua:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} |f(x) - f(y)| = \left|\frac{x}{1+x^2}- \frac{y}{1+y^2}\right| = \left|\frac{x(1+y^2)-y(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right| = \\  \\ = \left|\frac{(x-y) + (y-x)(xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right| \leq \frac{|x-y|+ |y-x||xy|}{(1+x^2)(1+y^2)} = \\  \\ \frac{|x-y|+ |x-y||xy|}{|(1+x^2)(1+y^2)|} = \frac{|x-y|(1+|xy|)}{|(1+x^2)(1+y^2)|} = \end{array} \)

En esta expresión, se tiene el factor:

    \(\displaystyle \frac{|x-y|(1+|xy|)}{|(1+x^2)(1+y^2)|} \leq 1, \textrm{ puesto que } 1 + |xy|\sim (1+x^2) \wedge (1+y^2) \)

Con lo que podemos concluir:

    \(|f(x) - f(y)| \leq |x-y| < \varepsilon \)

Según eso, hemos demostrado que se tiene:

    \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \; \vartheta = \varepsilon / |x-y| < \vartheta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon \)

Luego f(x) es uniformemente continua.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás