PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea la función \(f : R^2\rightarrow R \) definida por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \frac{x}{4x^2+y^2-1}\; si \; 4x^2+y^2 \neq 1 \; y\; (x,y) \neq (0,0) \\
     \\
    f(x,y) = 1 \qquad\qquad 4x^2+y^2 = 1 \;ó\; (x,y) = (0,0)
    \end{array}\)

Estudiar la continuidad de f en R2.

Respuesta al ejercicio 44

Para todo punto \((x_o , y_o)\) tal que cumpla:

    \(\left\{ \begin{array}{l} 4x_o^2 + y_o^2 \neq 1 \\  \\ (x_o , y_o) \neq (0,0) \\ \end{array} \right.\)

la función toma la forma:

    \(\displaystyle f(x,y) = \frac{x}{4x^2 + y^2 - 1} \)

Y por ser cociente de funciones continuas es continua, puesto que el denominador no se anula. Consideremos ahora el punto (0,0):

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = \frac{x}{4x^2 + y^2 - 1} = \\  \\ = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{p\cos \theta }{4p^2\cos^2 \theta + p^2\sin^2 \theta - 1 } = 0 = f(0,0) \end{array} \)

Por último, sean los puntos \((x_o , y_o)\) tales que \(4·x_o^2 + y_o^2 = 1 \) . Podemos hacer:

    \(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (x_o,y_o)} f(x,y) = \lim_{y\rightarrow y_o} f(x_o,y) = \lim_{y\rightarrow y_o} \frac{x_o}{4x_o^2 + y^2 - 1} \)

Y se tienen dos casos:

    \(x_o = 0 \Rightarrow \lim f(x,y) = 0 \neq f(x,y) = 1 \)

Y por tanto la función no es continua en los puntos (0,y).

    \(\displaystyle x_o \neq 0 \Rightarrow \frac{x_o^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1 \)

Y los puntos que cumplen la expresión son los de una elipse, con lo que se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{(x,y)\rightarrow (x_o,y_o)} \frac{x_o}{4·x_o^2 + y^2 - 1} = \\
     \\
    = \lim_{y\rightarrow y_o} \frac{x_o}{\frac{x_o^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{1^2} - 1} = \infty \neq f(x,y) = 1
    \end{array} \)

Podemos concluir diciendo que la función estudiada no es continua puesto que no lo es en los puntos:

    \(D = \{(0,0)\}\cup \left\{(x_o,y_o)/4x_o^2 + y_o^2 = 1\right\} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás