Ejercicios de continuidad de funciones

Sea la función \(f : R^2\rightarrow R \) definida por:

\( \displaystyle f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}\quad si\quad (x,y) \neq (0,0) \; ; \; f(0,0) = 0 \)

Estudiar la continuidad de f en R²

Respuesta al ejercicio 43

Puesto que la dificultad solo se presenta en el punto (0,0) analizaremos la continuidad de la función en dicho punto:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)} = \\ \\ = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{\sin p^3\cos \theta \sin \theta}{p^2} = 0 = f(0,0) \end{array} \)

La función será continua en (0,0) y, por lo tanto, en todo R puesto que en los demás puntos es continua por ser cociente de funciones continuas.