Ejercicios de continuidad de funciones Sea la función \(f : R^2\rightarrow R \) definida por:
\( \displaystyle f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}\quad si\quad (x,y) \neq (0,0) \; ; \; f(0,0) = 0 \)
Estudiar la continuidad de f en R2
Respuesta al ejercicio 43
Puesto que la dificultad solo se presenta en el punto (0,0)
analizaremos la continuidad de la función en dicho punto:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)} = \\
\\
= \lim_{p\rightarrow 0} \frac{\sin p^3\cos \theta \sin \theta}{p^2} = 0 = f(0,0)
\end{array} \)
La función será continua en (0,0) y, por lo tanto,
en todo R puesto que en los demás puntos es continua
por ser cociente de funciones continuas.
EJERCICIOS
RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA
Y CIENCIAS |
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