PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 42

El único punto que presenta problemas en este caso es el (0,0) pues en todos los demás, la función tiene valores que coinciden con el límite ya que el cociente de dos funciones continuas es una función continua cuando el denominador no se anula. Para el punto (0,0) tenemos:

    \(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) =\frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{\sin p^2}{p^2} = 1 \neq f(0,0) = 0 \)

Como el límite de la función en (0,0) no coincide con el valor de ésta en dicho punto, podemos decir que la función es discontinua en (0,0).

En el segundo ejemplo, como en el caso anterior, el único punto que presenta problemas es el (0,0), para el que se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x|y|}{\sqrt{(x^2+y^2)}} = \\
     \\
    = \lim_{p\rightarrow 0} \frac{\sin p^2\cos \theta \sin \theta}{p} = 0 = f(0,0)
    \end{array}\)

Como el límite de la función en (0,0) coincide con el valor de ésta en dicho punto, podemos decir que es continua en (0,0), y puesto que también es continua en todos los demás puntos por ser cociente de funciones continuas, diremos que f(x,y) es continua en todo R.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás