PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 41

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en dicho punto debe coincidir con el límite de la función en él. Para que sea continua en un intervalo, ha de ser continua en cada uno de los puntos del mismo.

Analizamos el primer caso.- Esta función solo presenta problemas en los casos en que tenga \(|x| = |y|\), que son los puntos de las rectas:

    \(x= y \quad ; \quad x = -y \)

Veamos si en alguno de los casos la función es discontinua: Sea un punto a de la recta x=y, entonces para \(R^2\) se tiene (x,y) =(a,a) y podemos poner:

    \( \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = a = f(a,a) \)

Por lo tanto, f es continua en (a,a) y consecuentemente en todos los puntos de la recta x=y.

Sea ahora un punto de la recta x=-y, entonces para \(R^2\) se tiene (x,y) = (a, -a) y podemos hacer:

    \(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l} \textrm{ siendo } |x|\leq |y| = \lim_{x\rightarrow a}\;x = a \\  \\ \textrm{ siendo } |x|> |y| = \lim_{x\rightarrow a}\;y = -a \\ \end{array} \right. \)

Puesto que no coinciden los límites reiterados, no existe el límite doble a lo largo de la recta x=-y, y por tanto, la función no es continua para dichos valores.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás