Ejercicios de continuidad de funciones
Estudiar la continuidad de la siguiente función de R2
en R:
\( \left\{
\begin{array}{l}
f(x,y) = x \quad, si\quad |x| \leq | y | \\
\\
f(x,y) = y \quad, si\quad |x| > | y | \\
\end{array}
\right. \)
Respuesta al ejercicio 41
Para que una función sea continua en un punto, el valor de
la función en dicho punto debe coincidir con el límite de la
función en él. Para que sea continua en un intervalo, ha de
ser continua en cada uno de los puntos del mismo.
Analizamos el primer caso.- Esta función solo presenta problemas
en los casos en que tenga \(|x| = |y|\), que son los puntos
de las rectas:
\(x= y \quad ; \quad x = -y \)
Veamos si en alguno de los casos la función es discontinua:
Sea un punto a de la recta x=y, entonces para \(R^2\) se tiene
(x,y) =(a,a) y podemos poner:
\( \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = a =
f(a,a) \)
Por lo tanto, f es continua en (a,a) y consecuentemente en
todos los puntos de la recta x=y.
Sea ahora un punto de la recta x=-y, entonces para \(R^2\)
se tiene (x,y) = (a, -a) y podemos hacer:
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = \left\{
\begin{array}{l} \textrm{ siendo } |x|\leq |y| = \lim_{x\rightarrow
a}\;x = a \\ \\ \textrm{ siendo } |x|> |y| = \lim_{x\rightarrow
a}\;y = -a \\ \end{array} \right. \)
Puesto que no coinciden los límites reiterados, no existe
el límite doble a lo largo de la recta x=-y, y por tanto, la
función no es continua para dichos valores.