PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que la función:
    \(\displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    x·\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad,\quad \forall \; x \neq 0 \\
    \\ 0 \textrm{ cuando } x = 0 \\
    \end{array} \right.\)
Es contínua en el punto x = 0.

Respuesta al ejercicio 38
Para que al función sea contínua en el punto x = 0 deberá coincidir el límite de la función cuando x tienda a cero con el valor en dicho punto . Se tiene:
    \(\displaystyle \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| = |x|\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x| \)

Que se cumple, pues sin x cumple \(-1 \leq \sin x \leq 1, \forall x\) de ahí podemos hacer:

\( \displaystyle |x| < \varepsilon \quad ; \textrm{ tomando }\alpha = \varepsilon \Rightarrow |x| < \alpha \Rightarrow \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)- 0\right| < \varepsilon \)

es decir el límite de la función valo cero cuando x tienda a 0 y dicho valor coincide con f(0), por lo tanto, la función es contínua en el punto x = 0.

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tema escrito por: José Antonio Hervás