PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea f una función real y continua definida en el intervalo [0,1] y que toma valores en [0,1]. Demostrar que existe un punto del intervalo [0,1] donde se tiene f(x) = x.

Respuesta al ejercicio 37
Definimos una función g(x) que cumpla:
    \(g(x) = f(x) - x\)

Dicha función será contínua en el intervalo [0,1] por serlo f(x) y x ; y se tendrá:

    \( \begin{array}{l} g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0 \\ \\
    g(1) = f(1) - 1 \leq 1 - 1 = 0 \Rightarrow \textrm{ como } f(1) \leq 1 \Rightarrow g(1) \leq 0
    \end{array} \)

Si se cumple g(0) ó g(1) = 0 ya está resuelto el problema, si no es así se tiene que la función g(x) cambia de signo en el intervalo [0, 1] , por ser:

    \(\begin{array}{l} g(0) \geq 0 \\ \\
    g(1) \leq 0 \end{array}\)

Por lo tanto , según el teorema de Bolzano existirá un xo donde se tenga g(xo) = 0, y de ahí:

    \(g(x_o) = f(x_o) - x_o = 0 \Rightarrow f(x_o) = x_o \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás