Ejercicios de continuidad de funciones
Estudiar si la función f(x) = 1/ln x es uniformemente continua
en (0,1/2). Utilizar el concepto de prolongación por cinuidad
y del teorema de Heine.
Respuesta al ejercicio 34
Sabemos que la función es contínua en (0, 1/2]
y que presenta una discontinuidad evitable en x = 0
Por lo tanto podemos definir una función \(\bar{f}\)
para la que se tenga:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\bar{f}(x) = f(x) = \frac{1}{\ln x}\qquad \forall x \in (0,
1/2] \\
\ \bar{f} = \lim f(x) = 0 \quad , \quad x = 0
\end{array} \)
La función \(\bar{f}(x)\) es según eso, continua
en el intervalo [0, 1/2], como se trata de un conjunto cerrado,
según el teoreme de Heine será uniformente contínua
en dicho intervalo.
Como se tiene :
\( \displaystyle f \equiv \bar{f} \quad , \quad \forall x \in
(0, \frac{1}{2})\)
f será uniformemente continua en (0, 1/2).