PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 33

Sabemos que la imagen de toda función de la forma \(\frac{1}{n} \textrm{ con } \frac{1}{n} \in \varepsilon(0) \textrm{ es } 1\), pero no sabemos como es la imagen de cualquier número real que perteneca a \( \varepsilon(0) \), luego nada podemos deducir en este caso sobre la función.

Para el segundo caso tenemos:

    \(f(0) =\displaystyle\begin{array}{l}
    n \textrm{ par }\Rightarrow f(n^{-1})= f\left(\frac{1}{2n'}\right) = (-1)^{2n'} = 1 \\
    \\
    n \textrm{ impar }\Rightarrow f(n^{-1})= f\left(\frac{1}{2n'+1}\right) = (-1)^{2n'+1} = -1
    \end{array} \)

Por lo tanto, si f fuese contínua en 0, se rendría que verificar \(\exists \quad \lim f(x) = f(0)\) pero recordamos un teorema que dice:

Es necesario y suficiente para que una función f(x) admita como límite el valor L en un punto xoque para toda sucesión (xn), dicha sucesión admita a xo como punto de acumulación y que siendo:

    \( x_n \neq x_o \quad , \quad \forall n \textrm{ se tenga }f(x_n)\rightarrow L \)

Según este teorema se ha de cumplir:

    \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x) = \lim_{x\rightarrow \infty}f(x_n)\quad ; \quad \forall (x_n)\rightarrow 0 \)

Tomando la sucesión:

    \( \displaystyle x_n = \frac{1}{2n} \)

Tenemos:

    \( \displaystyle f(0) = \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \lim_{n\rightarrow \infty}f\left(\frac{1}{2n}\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} (-1)^{2n} = 1 \)

Tomando la sucesión:

    \( \displaystyle x_n = \frac{1}{2n+ 1} \)

Tenemos:

    \( \displaystyle f(0) = \lim_{x\rightarrow 0}f(x)= \lim_{n\rightarrow \infty}f\left(\frac{1}{2n+1}\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} (-1)^{2n+1} =-1 \)
Resultan dos valores distintos para f(0), luego f(x) no tiene como límite a f(0) cuando x tiende a 0, y por lo tanto, la función será discontínua en el punto 0.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás