PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 32
Para demostrar que la función no es uniformente continua en el intervalo pedido , tenemos que encontrar dos valores x y x' tales que cumplan:
    \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists\; \alpha > 0 \quad /\quad \forall x,x' \textrm{ si es } |x-x'|< \alpha \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon \)

Si tomamos:

    \( \displaystyle x = p \; ; \; x' = p + \frac{1}{p} \)

Se verifica:

    cuando \( \displaystyle p \Rightarrow \infty \Rightarrow \left|p-\left(p + \frac{1}{p}\right)\right| = \left|\frac{1}{p}\right|\Rightarrow 0 \)

Por otro lado:

    \( \displaystyle\left|p-\left(p^3 + \frac{1}{p}\right)^3\right| = \left|p^3 - p^3 + 3p - \frac{3}{p}-\left( \frac{1}{p^3}\right)\right| = \left|3p - \frac{3}{p}- \frac{1}{p^3}\right| \)
Esta expresión puede hacerse tan grande como queramos con solo tomar un valor de p arbitrario, por lo tanto la función no es uniformemente contínua en el intervalo \([0,\infty )\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás