PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Dada una función real :
    \(f : x \rightarrow f(x)\)
Definida en un intervalo \(I\subset R\) ; definimos la función:
    \(|f| : x \rightarrow |f(x)| \)
Demostrar:
    1) si f es continua en I, tambien lo es \(|f(x)| \)
    2 ) si f es uniformemente continua en I, tambien lo es \(|f(x)| \)
Respuesta al ejercicio 30
Si la función es contínua se tiene:
    \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 / \forall x, Si |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_o)| < \varepsilon \)

Como para todo número real se cumple:

    \( \displaystyle\left||f(x)|-|f(x_o)|\right| \leq |f(x)-f(x_o)| < \varepsilon\)

Queda demostrado el apartado primero.

Si la función f es uniformemente contínua se tiene:

    \(\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; \alpha (\varepsilon)\quad /\quad \forall x,x' \in I , Si \; |x-x'|< \alpha \Rightarrow |f(x)-f(x')|< \varepsilon \)

Igual que en el apartado anterior se tiene:

    \( \displaystyle\left||f(x)|-|f(x')|\right| \leq |f(x)-f(x')| < \varepsilon\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás