PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 29
Para que la función f(x) = x2 sea uniformemente contínua se ha de tener:
    \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; \alpha > 0 : \left\{ \begin{array}{l} \forall x \\ \\ \forall x_o\\ \end{array} \right. \qquad |x - x_o| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon \)

Tomando como valores \(x_o\; y \; x= x_o + \frac{\delta}{2}\) se tiene:

    \( \displaystyle |x-x_o| = \left|x_o + \frac{\delta}{2}- x_o\right|= \left| \frac{\delta}{2}\right| < \delta\)

Y por otro lado:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} |f(x)-f(x_o)| = \left| f\left(x_o + \frac{\delta}{2}\right)- f(x_o)\right| = \\  \\ = |x_o^2 + \frac{\delta}{4}+ x_o\delta - x_o^2| = x_o\delta + \frac{\delta}{4} \end{array} \)

Expresión que se puede hacer tan grande como se quiera con solo dar valores arbitrariamente grandes a xo ; por lo tanto la función no es uniformente contínua.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás