PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 28
Vamos a probar que :
    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f\left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{2} \)

En efecto, se cumple:

    \( \displaystyle\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \;\alpha > 0 / |x-2| < \alpha \Rightarrow \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon \)

Y, tenemos:

    \(\displaystyle \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2-x}{x} \right| = \frac{|2-x|}{2|x|}= \frac{|x-2|}{2|x|} \)

Tomando \(|x-2|< 1\), tenemos:

\(-1 < x-2 < 1 \Rightarrow 1 < x < 3\)

de donde podemos hacer :
    \(\displaystyle \frac{|x-2|}{2|x|} = \frac{|x-2|}{2x} < \frac{|x-2|}{2}< \varepsilon \Rightarrow |x-2|< 2\varepsilon\)

Se cumplirá la condición del límite si tomamos \(\alpha = \min (1, 2\varepsilon)\).

Para probar el apartado b) bastará con probar que f(x) es contínua en (1,3) y que existe el límite de f(x) para \(x \rightarrow 1^+\) y para\(x \rightarrow 3^-\) coincidiendo estos límites con los valores que toma la función en dichos puntos.

Pero también podemos hacerlo como sigue:

    \(\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\quad ;\textrm{siendo } \left\{
    \begin{array}{l} g(x) = 1 \quad , \; \textrm{contínua en } [1,3] \\
    \\ h(x) = x \quad , \; \textrm{contínua en } [1,3] \\
    \end{array} \right. \)

como se tiene \(h(x) \neq 0 \in [1,3]\Rightarrow f(x) \) será contínua en [1,3]

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás