PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Estudiar la continuidad de la función :
    \( \displaystyle f(x) = \frac{x-|x|}{x}\;,\quad \forall x \in R\)
Respuesta al ejercicio 23
Se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \forall x > 0 \quad f(x) = \frac{x-x}{x} = \frac{0}{x} = 0 \\ \\ \forall x < 0 \quad f(x) = \frac{x-(-x)}{x} = \frac{x+x}{x} = 2 \end{array} \)

Para el punto x = 0 la función no está definida.

gráfica de la función

Tenemos, por tanto, que f(x) es contínua para todo x distinto de 0, y presenta una discontinuidad de primera especie cuyo salto es 2, pues tenemos:

    \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = 0\quad ; \quad \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) = 2\quad ; \quad 0\neq 2\)

Por lo tanto, la discontinuidad no es evitable.

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tema escrito por: José Antonio Hervás