PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 22
La función g(x) = x es contínua, pues se tiene:
    \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 / \forall x, Si |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_o)|= |x-x_o|< \varepsilon \)

Se tendría, por tanto \(\forall \varepsilon \;, \; \alpha = \varepsilon\)

El producto de funciones contínuas es una función contínua:

    \( \forall \varepsilon \quad \exists \alpha > 0 / \forall x Si |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)g(x) -f(x_o)g(x_o) | < \varepsilon\)

Para demostrarlo, hacemos:

    \(|f(x) -f(x_o)| < \varepsilon'/f(x_o)2\quad y \quad |g(x) -g(x_o)| < \varepsilon"/g(x_o)2 \)

Con lo que se tiene:

    \( \begin{array}{l} |f(x)·g(x) -f(x_o)·g(x_o)| = |f(x)·g(x) -f(x)·g(x_o)+ \\ \\ + f(x)·g(x_o) - f(x_o)·g(x_o)|= |f(x)[g(x)-g(x_o)]+ \\ \\ g(x_o)[f(x)-
    f(x_o)]| < |f(x)[g(x)- g(x_o)]| + |g(x_o)[f(x)- f(x_o)]| \end{array} \)
En el límite cuando \(x \rightarrow x_o\) se tiene \(f(x) = f(x_o)\) y podremos poner:
    \(\displaystyle|f(x)·g(x) -f(x_o)·g(x_o) | < \frac{\varepsilon}{2·f(x_o)}+ \frac{\varepsilon}{2·g(x_o)} = \varepsilon\)

Por lo tanto la función \(h(x) = g(x)·g(x)·g(x)\) será también contínua.

De igual modo se puede demostrar que el producto de una función contínua por una constante es una función continua y que la suma de dos funciones contínuas es una función contínua.

Por todo ello, podemos asegurar, que la función :

    \(f(x) = 2[g(x)]^3 + g(x)\)

Es contínua en todo el campo real, por serlo la función g(x) = x.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás