PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado en

Problemas de continuidad de funciones

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 21
Para que la función sea contínua en un punto xo se ha de tener:
    \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 / \forall x, Si |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_o)| < \varepsilon \)

Comprobamos que ocurre así para esta función para\(\forall x \neq 1\), pues se tiene:

    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{l}
    x\rightarrow x_o \\
    x_o\neq 1
    \end{array}
    }f(x) = f(x_o) \quad \forall x_o\neq 1\)

Por ejemplo, para el punto x = 2, tenemos:

    \(\displaystyle f(x) = \frac{2·2^4+6·2^3+2^2+3}{2-1}= -9 \)

Se comprueba inmediatamente que lím f(x) = - 9 , cuando x tiende a 2 , sustituyendo x por el valor 2.

En el punto x = 1, la función no está definida por anularse el denominador, por lo tanto la función es discontínua en el punto x = 1.

Sin embargo, se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{2x^4+6x^3+x^2+3}{x-1}= \frac{(x-1)(2x^3 - 4x^2- 3x -3)}{x-1} = \\  \\ = 2x^3 - 4x^2 - 3x - 3 \end{array} \)
El límite de la primera expresión cuando x tiende a 1 es el mismo que el de la última , y este último se calcula sustituyendo el valor de x por 1, con lo que se tiene :
    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} f(x) = -8\)

Luego, si definimos una función como la anterior, \(\forall x \neq 1\) y que toma el valor -8 para el punto x = 1 , la discontinuidad producida será evitable.

El valor -8 que es el límite de la función cuando \(x \rightarrow 1\) recibe el nombre de verdadero valor de la función en dicho punto.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás