PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 20
Teniendo en cuenta la función :
    \(\displaystyle f(x)= \left\{
    \begin{array}{c}
    \frac{|x-3|}{x-3}\;, \; \forall x\neq 3 \\
    \\
    0 \;, \; \textrm{para }x = 3\\
    \end{array}
    \right.\)

Se tiene:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \forall x > 3 \Rightarrow f(x) = \frac{x-3}{x-3}= +1 \\ \\ \forall x < 3 \Rightarrow f(x) = - \frac{x-3}{x-3}= -1 \end{array}\)

Por lo tanto, la gráfica de la función será:

Para calcular el primer límite, según la gráfica vemos que se tiene:

    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^+} f(x) = 1 \)
Lo comprobamos:
    \( \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; \alpha > 0 / \forall x \in (3, 3+\alpha) \Rightarrow |f(x) - 1|< \varepsilon\)

Por ser \(x > 3 \Rightarrow f(x) = 1\), luego tenemos:

    \( |f(x) - 1| = |1 - 1| = 0 < \varepsilon \quad ; \quad \forall \alpha \)

Para el segundo límite, según la grafica vemos que se tiene:

    \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^-} f(x) = -1 \)
Por lo tanto se ha de cumplir:
    \( \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; \alpha > 0 / \forall x \in (3+\alpha, 3) \Rightarrow |f(x) -(-1)|< \varepsilon\)

Tenemos:

    \( \forall x < 3\quad , \quad f(x) = -1 \Rightarrow |f(x)- (-1)| = |-1 - (-1)| = 0 <\varepsilon \quad ; \quad \forall \alpha \)

De todo resulta:

    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^+} f(x) = 1 \neq \lim_{x\rightarrow 3^-} f(x) = -1 \)

y no existe el límite de f(x) cuando x tiende a 3, porque son distintos el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Por lo tanto, em el punto x = 3, la función es discontínua ; representando una discontinuidad finita de primera especie, con un salto igual a 2.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás