PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Dada la función:
    \(\displaystyle x \rightarrow f(x) = \frac{x+1}{x-1}\quad ; \;\forall x \neq 1\)
Demostrar que se tiene:
    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x+1}{x-1} = +\infty\quad ; \quad \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x+1}{x-1} = -\infty\)
Respuesta al ejercicio 17
Para el primer caso se de cumplir :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    si \quad \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x+1}{x-1} = +\infty \Rightarrow \forall \varepsilon (+\infty) \exists \; a > \\
     \\
    > 0 / \forall x \in (1,1+a) \Rightarrow f(x) \in \varepsilon (+\infty)
    \end{array} \)

y dicho de otra forma:

    \( \displaystyle \forall A > 0 \; \exists \; a > 0 / \forall x (1,1+a)\Rightarrow \frac{x+1}{x-1} > A\)

Esto es así, pues si tomamos un intervalo de radio a = 1 , se tiene:

\(\begin{array}{l} \forall x \in (1,1+1)\Rightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow 0 < x-1 < 1 \\ \forall x \in (1,1+1)\Rightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow 2 < x+1 < 3 \end{array} \)

Luego tenemos:
    \( \displaystyle \frac{x+1}{x-1} > \frac{2}{x-1}> A \Rightarrow x-1 < \frac{2}{A} = a \)

Deberemos tomar a, por tanto, como \(a = \min (1, 2/A)\) y tedremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} Si A\leq 2\quad \exists\quad \alpha = 1, \textrm{ya que } x-1 < 1\;\Rightarrow \\ \\\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}> \frac{2}{x-1}> \frac{2}{1}= 2 \geq A \\ Si A> 2\quad \exists\quad \alpha = \frac{2}{A}, \textrm{ya que } x-1 < \frac{2}{A}\;\Rightarrow \\ \\\Rightarrow \frac{x+1}{x-1}> \frac{2}{x-1}> \frac{2}{2/A}= A \\ \end{array} \)
Para el segundo caso se ha de cumplir:
    \( \displaystyle \forall A > 0 \quad \exists \;\alpha > 0 / \forall x \in (1-\alpha, 1)\Rightarrow \frac{x+1}{x-1} < -A \)

La condición impuesta se cumple, pues se tiene:

    \( 1-\alpha < x < 1 \quad ; \textrm{ siendo } \alpha = 1 \Rightarrow -1 < x-1 < 0 \Rightarrow 1 < x+1 < 2 \)

Luego tendremos:

    \( \displaystyle \frac{x+1}{x-1}< \frac{2}{x-1}< -A \Rightarrow x-1 > - \frac{2}{A} \)

Por lo tanto, tomando \(\alpha = \min (1, 2/A)\) tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} Si A\leq 2\quad \exists\quad \alpha = 1, \textrm{ya que }-1 < x-1 < 0\;\Rightarrow\\  \\ \Rightarrow \frac{x+1}{x-1}< \frac{2}{x-1}< - \frac{2}{1}= -2 \geq -A \\  \\ Si A> 2\quad \exists\quad \alpha = \frac{2}{A}, \textrm{ya que } -\frac{2}{A}< x-1 < 0\;\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{x+1}{x-1}< \frac{2}{x-1}< \frac{2}{-2/A}= -A \\  \end{array}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás