PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea f una función contínua en el intervalo \([a,+\infty)\). Se supone que el límite de f, cuando x tiende a \(+\infty\) vale L.

Demostrar que :

    \(\forall\; A\: / f(a) < A < L\)
Se puede asociar un número c que es mayor o igual que A y para el que se tiene f(c) = A.

Respuesta al ejercicio 16

La función tiene un máximo en L y un mínimo en f(a), absolutos, como es contínua, está acotada.

Al ser contínua y acotada, toma por lo menos una vez el valor A, según la propiedad de Darboux. Se tiene f(a)<A<L.

Si definimos la función f(x)-A, tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} f(a)- A<0 \\ \lim_{x\rightarrow\infty}-A = L-A> 0 \\ \end{array}\)

La función cambia de signo, por lo tanto, según el teorema de Bolzano debe existir un valor a tal que cumpla:

    \(f(c) - A = 0 \Rightarrow f(c) = A\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás