PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de continuidad de funciones

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Para la misma función definida en el problema anterior, demostrar que se tiene :
    \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+1}{x-1} = \infty\; ; \; \lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{x+1}{x-1} = 1\; ; \; \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x+1}{x-1} = 1\)
Con los resultados obtenidos en los dos problemas anteriores se pide construir la gráfica de la función.

Respuesta al ejercicio 18
Para el primer caso de este ejercicio se ha de cumplir :
    \(\forall A > 0 \quad \exists\; \alpha > 0 / \forall x \in (1-\alpha, 1+\alpha) \Rightarrow |f(x)| > A\)

En efecto. Sea \(\alpha = 1\) se tiene entonces:

    \(0 < x < 2 \Rightarrow -1 < x-1 < 1 \Rightarrow 1 < x+1 < 3\)

Por lo tanto, si se tiene:

    \( \displaystyle \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A) \)
Se cumplirá:
    \(
    \displaystyle \begin{array}{l}
    \forall A < 1 \quad \exists \; \alpha = 1 \textrm{ ya que } 0 < |x+1|< 1 \Rightarrow \\ \\\Rightarrow \frac{|x+1|}{|x-1|} > \frac{|x+1|}{1}\geq |x+1| > 1>A \\ \\ \forall A < 1 \quad \exists \; \alpha = \frac{1}{A} \textrm{ ya que } \left|\frac{x+1}{x-1}\right|= \\ \\= \frac{|x+1|}{|x-1|} > \frac{1}{|x-1|}> \frac{1}{1/A}= A \end{array}\)

Para el caso del segundo límite, hemos de comprobar que se tiene:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \quad a > 0 / \forall x > a \Rightarrow |f(x)-1|< \varepsilon
    \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \\
     \\
    \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A)
    \end{array} \)
    \( \displaystyle \Rightarrow \)
Según la función, tenemos:
    \( \displaystyle \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A) \)
Es decir, basta tomar un x mayor que \((1 + 2/\varepsilon)\) para que se tenga\(|f(x) - 1|< \varepsilon\)
Por último se ha de tener:
    \( \displaystyle \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; a > 0 / \forall x < -a \Rightarrow |f(x) - 1|< \varepsilon \)
Según lo anterior hemos visto que teníamos:
    \( \displaystyle |x-1|> \frac{2}{\varepsilon} \quad \textrm{como }x < 1 \Rightarrow |x-1| = -(x-1) = 1-x \)
De ahí podemos hacer:
    \( \displaystyle 1-x > \frac{2}{\varepsilon} \Rightarrow -x > \frac{2}{\varepsilon}-1 = a \Rightarrow x < -a \)

Por lo tanto se cumplirá la condición del límite para todo x tal que\(x < 1 - 2/\varepsilon = -a\).

Según las consideraciones anteriores y teniendo en cuenta que la gráfica corta al eje de abcisas en el punto y = -1, pues se tiene:

    \( \displaystyle \frac{0+1}{0-1} = -1 \)

y al eje de coordenadas en el punto x =-1 , pues se tiene:

    \( \displaystyle\frac{x+1}{x-1} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Con todos los datos construimos la gráfica de la función:

    \( \displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}\)
fráfica de la función  (x+1)/(x-1)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás