PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 18
Para el primer caso de este ejercicio se ha de cumplir :
    \(\forall A > 0 \quad \exists\; \alpha > 0 / \forall x \in (1-\alpha, 1+\alpha) \Rightarrow |f(x)| > A\)

En efecto. Sea \(\alpha = 1\) se tiene entonces:

    \(0 < x < 2 \Rightarrow -1 < x-1 < 1 \Rightarrow 1 < x+1 < 3\)

Por lo tanto, si se tiene:

    \( \displaystyle \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A) \)
Se cumplirá:
    \(
    \displaystyle \begin{array}{l}
    \forall A < 1 \quad \exists \; \alpha = 1 \textrm{ ya que } 0 < |x+1|< 1 \Rightarrow \\ \\\Rightarrow \frac{|x+1|}{|x-1|} > \frac{|x+1|}{1}\geq |x+1| > 1>A \\ \\ \forall A < 1 \quad \exists \; \alpha = \frac{1}{A} \textrm{ ya que } \left|\frac{x+1}{x-1}\right|= \\ \\= \frac{|x+1|}{|x-1|} > \frac{1}{|x-1|}> \frac{1}{1/A}= A \end{array}\)

Para el caso del segundo límite, hemos de comprobar que se tiene:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \quad a > 0 / \forall x > a \Rightarrow |f(x)-1|< \varepsilon
    \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \\
     \\
    \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A)
    \end{array} \)
    \( \displaystyle \Rightarrow \)
Según la función, tenemos:
    \( \displaystyle \left|\frac{x+1}{x-1}\right| = \frac{|x+1|}{|x-1|}> \frac{1}{|x-1|} > A \Rightarrow |x-1|< \frac{1}{A}\Rightarrow \alpha = \min(1, 1/A) \)
Es decir, basta tomar un x mayor que \((1 + 2/\varepsilon)\) para que se tenga\(|f(x) - 1|< \varepsilon\)
Por último se ha de tener:
    \( \displaystyle \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \; a > 0 / \forall x < -a \Rightarrow |f(x) - 1|< \varepsilon \)
Según lo anterior hemos visto que teníamos:
    \( \displaystyle |x-1|> \frac{2}{\varepsilon} \quad \textrm{como }x < 1 \Rightarrow |x-1| = -(x-1) = 1-x \)
De ahí podemos hacer:
    \( \displaystyle 1-x > \frac{2}{\varepsilon} \Rightarrow -x > \frac{2}{\varepsilon}-1 = a \Rightarrow x < -a \)

Por lo tanto se cumplirá la condición del límite para todo x tal que\(x < 1 - 2/\varepsilon = -a\).

Según las consideraciones anteriores y teniendo en cuenta que la gráfica corta al eje de abcisas en el punto y = -1, pues se tiene:

    \( \displaystyle \frac{0+1}{0-1} = -1 \)

y al eje de coordenadas en el punto x =-1 , pues se tiene:

    \( \displaystyle\frac{x+1}{x-1} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Con todos los datos construimos la gráfica de la función:

    \( \displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}\)
fráfica de la función  (x+1)/(x-1)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás