PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado en

Problemas de continuidad de funciones

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 15
Comprobamos primero que la función f(x) = x2 es contínua, tenemos :
    \(\forall \varepsilon > 0 \exists \alpha > 0 / \forall x, x' , \textrm{siendo} |x-x'|< \alpha \Rightarrow |f(x)- f(x')|< \varepsilon\)

para la función f(x) = x2 se tiene:

    \(|x^2 - x'^2| = |(x+x')(x-x')|\)

Por lo tanto, al tender \(|(x-x')| \) a cero la función también tenderá a cero y será contínua en todo punto de la recta real.

Para que la función sea uniformemente contínua se ha de cumplir:

    \( \forall x',x" \in \mathbb{R} \textrm{si es} |x'-x"|\rightarrow 0 \Rightarrow |f(x')-f(x")| \rightarrow 0 \)
Si tomamos \(x' = M , x" = M + \frac{1}{M}\), tenemos cuando M tiende a infinito:
    \(
    \displaystyle \begin{array}{l}
    M \rightarrow \infty \left|M - \left(M + \frac{1}{M}\right)\right| = \left|\frac{1}{M}\right|\rightarrow 0
    \\
    \\
    \left|M^2 - \left(M + \frac{1}{M}\right)^2\right| = \left|M^2 - \left(M^2 + 2 + \frac{1}{M^2}\right)\right|\rightarrow 2

    \end{array}\)

Por lo tanto, la función no es uniformemente contínua.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás