PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado en

Problemas de continuidad de funciones

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 14
El incremento de la función, se decir tg x' - tg x" lo podemos transforma como sigue:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \tan x' - \tan x" = \frac{\sin x'}{\cos x'}- \frac{\sin x"}{\cos x"} = \\  \\ = \frac{\sin x'\cos x" - \cos x'\sin x"}{\cos x'\cos x"} = \frac{sin (x' - x")}{\cos x'\cos x"} = \end{array} \)

Multiplicando y dividiedo por \(\cos(x' - x")\) nos queda:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\sin (x' - x")}{\cos (x'- x")}\times \frac{\cos(x' - x")}{\cos x'·\cos x"} = \\  \\ = \tan (x' - x")\times \frac{\cos x'·\cos x" + \sin x'·\sin x"}{\cos x'·\cos x"} \end{array} \)

Habiendo transformado \(\cos(x' - x")\) según una fórmula trigonométrica . Por todo ello, finalmente, nos queda:

    \( \tan x' - \tan x" = \tan (x' - x")(1+ \tan x'·\tan x") \)
El término (1+ tan x'·tan x") está acotado cuando \(|x' - x"|\) tiende a cero ; se tiene :
    \( (1+ \tan x'·\tan x")\leq 1 + \tan^2(\pi/3) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4\)

Considerando que tan 0 = 0 , podemos decir:

    Fijando un \( \varepsilon/4 \exists \delta / x < \delta \Rightarrow \tan x < \varepsilon/4 \)

Por lo tanto,siempre que se tenga:

    \( \begin{array}{l} |x'-x"|< \delta \Rightarrow |\tan x' - \tan x"| = \\  \\ = |\tan (x' - x")(1+ \tan x'\tan x")| < \frac{\varepsilon·4}{4} = \varepsilon \end{array} \)
Se cumplira la hipotesis del problema.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás