PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 12
La función a estudiar será :
    \( \displaystyle f(x) = \frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\)
Y será periódica por serlo la función tg x ; y como esta función sólo está definida en el intervalo \([0, \pi)\), bastará estudiar la función problema en dicho intervalo. Se tiene :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} f(x) = \frac{e^{\tan x}- 1}{e^{\tan x}+ 1}= \frac{e^{\tan x}+ 1- 2}{e^{\tan x}+ 1}= \\  \\ = \frac{e^{\tan x}+ 1}{e^{\tan x}+ 1}- \frac{2}{e^{\tan x}+ 1} = 1 - \frac{2}{e^{\tan x}+ 1} \end{array}\)
y tomando límites :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{x \rightarrow ^+\pi/2} f(x) = 1 - \frac{2}{e^{\tan \infty}+ 1}= 1 \\
    \lim _{x \rightarrow^-\pi/2}f(x) = 1 - \frac{2}{e^{\tan -\infty}+ 1}= 1- 2 = - 1
    \end{array} \)

Se tiene por tanto una discontinuidad de primera especie con salto finito , igual a 2.

La segunda función es:

    \( f(x) =\sin (\tan x)\)
Y se tiene que sin x y tg x son ambas periódicas con lo que basta con que estudiemos la función problema en el intervalo :
    \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \)
tenemos entonces
    \( \begin{array}{l}
    \displaystyle \lim_{x \rightarrow^+ \pi/2} \sin (\tan x)= \sin(+\infty)\Rightarrow \textrm{no existe límite} \\
    \\
    \displaystyle \lim_{x \rightarrow^- \pi/2} \sin (\tan x)= \sin(-\infty)\Rightarrow \textrm{no existe límite}
    \end{array} \)
Se tiene por tanto una discontinuidad de segunda especie cuando \(x = \pi/2\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás