PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 10
Vamos a demostrar que:
    \(\lim f(x) = 0 \textrm{ cuando } x \rightarrow a \,, \, \forall a \;\textrm{ con } 0 \leq a \leq 1 \)
Para ello consideramos :
    \(\varepsilon > 0\;, \textrm{y sea } n \in N / 1/n < \varepsilon \)
Los números para los que podía ser falso \(|f(x)-0|<\varepsilon\) son:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}\;;\;\frac{1}{3},\frac{2}{3}\;;\;\frac{1}{4},\frac{3}{4}\;;\;\frac{1}{5},\frac{2}{5}, \frac{3}{5},\frac{4}{5}\;;\;\frac{1}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n} \)
Si a es racional, entonces a podría ser alguno de dichos numeros. Pero por muchos de tales números que pueda haber son en todo caso en número finito, que depende del valor de n. Por lo tanto, entre estos números habrá una que srá el más próximo a a, es decir el valor :
    \(\displaystyle |\frac{p}{q} - a| \)
Será mínimo para algún p/q entre los referidos números.
Vamos a considerar tan solo lo valores para los que se tenga \(\frac{p}{q} \neq a\), entonces existirá un valor \(|\frac{p}{q} - a|\) que será mínimo. Llamaremos \(\delta\) a este valor ; si se tiene:
    \(0 < |x-a|< \delta \)
entonces x no es ninguno de los números \(\frac{1}{2}, \cdots , \frac{n-1}{n}\) antes referidos, y como son en número finito se tendrá:
    \(\displaystyle |f(x) - 0| < \varepsilon \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0}f(x) = 0 \)
puesto que f(a) = 0 solamente cuando a es irracional , la función será contínua en a, si a es irracional, pero no será contínua si a es racional.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás