Ejercicios de continuidad de funciones

Sea una función f(x) que toma el valor cero cuando x es irracional y el valor 1/q cuando x = p/q (fracción irreducible). Demostrar que en los puntos de abcisas irracionales la función es contínua y en los puntos de abcisas racionales la función es discontinua

Respuesta al ejercicio 10

Vamos a demostrar que:

\(\lim f(x) = 0 \textrm{ cuando } x \rightarrow a \,, \, \forall a \;\textrm{ con } 0 \leq a \leq 1 \)

Para ello consideramos :

\(\varepsilon > 0\;, \textrm{y sea } n \in N / 1/n < \varepsilon \)

Los números para los que podía ser falso \(|f(x)-0|<\varepsilon\) son:

\( \displaystyle \frac{1}{2}\;;\;\frac{1}{3},\frac{2}{3}\;;\;\frac{1}{4},\frac{3}{4}\;;\;\frac{1}{5},\frac{2}{5}, \frac{3}{5},\frac{4}{5}\;;\;\frac{1}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n} \)

Si a es racional, entonces a podría ser alguno de dichos numeros. Pero por muchos de tales números que pueda haber son en todo caso en número finito, que depende del valor de n. Por lo tanto, entre estos números habrá una que srá el más próximo a a, es decir el valor :

\(\displaystyle |\frac{p}{q} - a| \)

Será mínimo para algún p/q entre los referidos números.
Vamos a considerar tan solo lo valores para los que se tenga \(\frac{p}{q} \neq a\), entonces existirá un valor \(|\frac{p}{q} - a|\) que será mínimo. Llamaremos \(\delta\) a este valor ; si se tiene:

\(0 < |x-a|< \delta \)

entonces x no es ninguno de los números \(\frac{1}{2}, \cdots , \frac{n-1}{n}\) antes referidos, y como son en número finito se tendrá:

\(\displaystyle |f(x) - 0| < \varepsilon \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0}f(x) = 0 \)

puesto que f(a) = 0 solamente cuando a es irracional , la función será contínua en a, si a es irracional, pero no será contínua si a es racional.