PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea f una función contínua sobre [0 , 1] tal que f(0) = f(1). Demostrar que todo entero natural p se le puede asciar un \(a \in [0, 1]\) tal que se tenga:
    \(\displaystyle (f(a) = f \left(a + \frac{1}{p}\right)\)
Nota.- Considérese la función
    \(\displaystyle g(x) = f \left(x + \frac{1}{p}\right)- f(x)\)
definida en
    \(\displaystyle \left[0\:, \:\frac{p-1}{p}\right]\)
y ver que ocurre si \(g(x) \neq 0\)

Respuesta al ejercicio 9
Si consideramos la función g(x) definida en la nota, tenemos :
    \(\displaystyle g(x) \neq 0 \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{l}
    g(x) > 0 \forall x \Rightarrow f \left(x + \frac{1}{p}\right)- f(x) > 0 \\
    g(x) < 0 \forall x \Rightarrow f \left(x + \frac{1}{p}\right)- f(x) < 0 \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Supongamos que se verifica la primera posibilidad:
    \(\begin{array}{l} g(0) = f(\frac{1}{p})- f(0)> 0 \\ g(\frac{1}{p}) = f(\frac{2}{p})- f(\frac{1}{p})> 0 \\ g(\frac{2}{p}) = f(\frac{3}{p})- f(\frac{2}{p})> 0 \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ g(\frac{p-1}{p}) = f(1)- f(\frac{p-1}{p})> 0 \\ ------------------ \\ \sum g = f(1) - g(0) > 0 \Rightarrow f(1) > f(0) \end{array}\)

    contra la hipotesis inicial.
Para el caso en el que g(x) < 0 se demuestra igual; por lo tanto se debe tener:
    \(\displaystyle f\left(x + \frac{1}{p}\right)- f(x) = 0 \Rightarrow f\left(x + \frac{1}{p}\right)= f(x) \)
Como se quería demostrar.
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tema escrito por: José Antonio Hervás