PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Sea f una función contínua en [0,1] tal que cualquiera que sea \(x \in [0,1]\) se tiene :
    \(0 \leq f(x) \leq 1 \)
Demostrar que existe un punto:
    \(x_o \in [0,1] / x_o = f(x_o) \)
Respuesta al ejercicio 8

La función f(x) continua en el intervalo [0,1] esta acotada en dicho intervalo, según un teorema visto en teoría sobre acotación de funciones.
La función I(x) tal que a cada valor de x le hace correspoder el mismo valor, también es una función contínua y acotada sobre [0,1].

Si definimos ahora la función :

    \(g(x) = f(x) - I(x) \)
dicha función será contínua sobre el intervalo [0 , 1] por ser suma de dos funciones contínuas, y por tanto, estara acotada en dicho intervalo.
según la propiedad de Darboux, o teorema del valor medio, y el teorema de Weierstrass , la función tomará todos los valores comprendidos en el intervalo [0 , 1] por lo tanto existirá un xo que cumplirá:
    \(g(x_o) = f(x_o) - I(x_o) = 0 \Rightarrow f(x_o) = I(x_o) = x_o\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás