PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 7
Según el teorema de Weierstrass y la propiedad de Darboux si la función f es contínua en el intervalo [a,b] toma todos los valores x comprendidos entre a y b, al menos una vez ; por lo tanto, será contínua en el intervalo \((x_1, x_2)\). Como f toma también valores en\(x_1 \; y \; x_2\) será contínua en \([x_1, x_2]\).
Según el teorema de Weierstrass la función tendrá un máximo y mínimo absolutos en dicho intervalo. El máximo absoluto será f(x2) por hipótesis y para el mínimo tendremos :
    \(\displaystyle \forall\;x \in [x_1, x_2] \exists 1 m \in R / f(x) \geq m \)
Sí f(x) = m el problema está resuelto.
    Si \(f(x)\neq m \Rightarrow f(x) > m \;,\; \forall \: x \in [x_1, x_2]\;; \;f(x) - m >0\)
\(f(x) - m \) es estrictamente mayor que cero por ser \(f(x) \neq m \):
Podemos definir una función contínua en la forma :
    \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)-m}\)
Esta función por ser contínua en \([x_1, x_2]\) estará acotada en dicho intervalo y se tendrá:
    \(\displaystyle \frac{1}{f(x)-m} < k \Rightarrow f(x) - m > \frac{1}{k} \Rightarrow f(x)> \frac{1}{k}+ m\)
Pero el valor 1/k + m es mayor que m, lo cual contradice la hipótesis de que m sea extremo inferior de f(x). Por lo tanto se ha de tener en todos los casos un valor f(x) que cumpla f(x) = m, con lo cual el intervalo \([x_1, x_2]\) tendrá un mínimo absoluto.
Si consideramos ahora que el intervalo \([x_1, x_2]\) está incluido en el intervalo [a,b] podemos concluir diciendo que el valor f(x) = m, que designaremos por f(x3 ) es un mínimo en el intervalo [a, b].
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás