PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 6
Según la definición de continuidad en un punto , la función anterior solo será contínua en el punto x = 0
Pues si \(x \neq 0\) basta que x y xo no sean racionales o irracionales a la vez , para que se tenga :
    \(\displaystyle \forall \; \varepsilon \gt \; 0 \; \exists \; \alpha \gt \; 0 / \forall x \in (x_o-\alpha , x_o + \alpha)\Rightarrow |f(x) - f(x_o)|< \varepsilon \)
Así si \(x\in \varepsilon_\alpha (x_o)\) donde x es racional y xo irracional, se tiene:
    \(|f(x)- f(x_o)|= |x|\) y la función no cumple la condición de continuidad
Así si \(x\in \varepsilon_\alpha (x_o)\) donde x es irrracional y xo racional, se tiene:
    \(|f(x)- f(x_o)|= |x_o|\) y la función no cumple la condición de continuidad
Como para cualquier x que tomemos se va a cumplir la situación anterior, por tenerse que entre dos números racionales siempre hay un número irracional y viceversa, la función:
    \(\begin{array}{l} f(x) = x \quad , \forall \; x \textrm{ racional} \\ f(x) = 0 \quad , \forall \; x \textrm{ irracional} \end{array}\)
Solo será contínua en el punto x = 0.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás