Ejercicios de continuidad de funciones
Demostrar que si la función f(x) es contínua en
un punto xo también lo es la función \(|f(x)|\)
Respuesta al ejercicio 5
Para que la función f sea cintinua en el punto x
o se ha
de tener :
\(\displaystyle \forall \; \varepsilon \gt \; 0 \; \exists \;
\alpha \gt \; 0 / \forall x \in (x_o-\alpha , x_o + \alpha)\Rightarrow
|f(x) - f(x_o)|< \varepsilon \)
Según las propiedades del valor absoluto de un número,
podemos hacer :
\( \begin{array}{l}
|f(x)-f(x_o)|\geq |f(x)|-|f(x_o)| = \beta \\
|f(x)-f(x_o)|= |f(x_o)-f(x)|\geq |f(x_o)|-|f(x)|= - \beta
\end{array} \)
De donde, en todo caso tenemos:
\(|f(x_o)-f(x)|\geq |\beta| = \left||f(x)|-|f(x_o)|\right|
\)
Y por lo tanto:
\(\left||f(x)|-|f(x_o)|\right|\leq |f(x)|-|f(x_o)|< \varepsilon\)
La función \(|f(x)|\) será contínua en el
punto x
o.