Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que si la función f(x) es contínua en un punto x_o también lo es la función \(|f(x)|\)

Respuesta al ejercicio 5

Para que la función f sea cintinua en el punto x_o se ha de tener :

\(\displaystyle \forall \; \varepsilon \gt \; 0 \; \exists \; \alpha \gt \; 0 / \forall x \in (x_o-\alpha , x_o + \alpha)\Rightarrow |f(x) - f(x_o)|< \varepsilon \)

Según las propiedades del valor absoluto de un número, podemos hacer :

\( \begin{array}{l} |f(x)-f(x_o)|\geq |f(x)|-|f(x_o)| = \beta \\ |f(x)-f(x_o)|= |f(x_o)-f(x)|\geq |f(x_o)|-|f(x)|= - \beta \end{array} \)

De donde, en todo caso tenemos:

\(|f(x_o)-f(x)|\geq |\beta| = \left||f(x)|-|f(x_o)|\right|
\)

Y por lo tanto:

\(\left||f(x)|-|f(x_o)|\right|\leq |f(x)|-|f(x_o)|< \varepsilon\)

La función \(|f(x)|\) será contínua en el punto x_o.