PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que si la función f(x) es contínua en un punto xo también lo es la función \(|f(x)|\)

Respuesta al ejercicio 5
Para que la función f sea cintinua en el punto xo se ha de tener :
    \(\displaystyle \forall \; \varepsilon \gt \; 0 \; \exists \; \alpha \gt \; 0 / \forall x \in (x_o-\alpha , x_o + \alpha)\Rightarrow |f(x) - f(x_o)|< \varepsilon \)
Según las propiedades del valor absoluto de un número, podemos hacer :
    \( \begin{array}{l} |f(x)-f(x_o)|\geq |f(x)|-|f(x_o)| = \beta \\ |f(x)-f(x_o)|= |f(x_o)-f(x)|\geq |f(x_o)|-|f(x)|= - \beta \end{array} \)
De donde, en todo caso tenemos:
    \(|f(x_o)-f(x)|\geq |\beta| = \left||f(x)|-|f(x_o)|\right|
    \)
Y por lo tanto:
    \(\left||f(x)|-|f(x_o)|\right|\leq |f(x)|-|f(x_o)|< \varepsilon\)
La función \(|f(x)|\) será contínua en el punto xo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás