PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que el límite de la función:
    \(\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}f (x) =x^2 + 2x = 3\)
Respuesta al ejercicio 4
Como en otros casos, se ha de tener :
    \(\displaystyle \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; \alpha > 0 / \forall x \neq x_o \:y \: |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)-3|< \varepsilon \)
Según eso tenemos :
    \(|x^2+2x-3|<\varepsilon \)
Resolviendo la ecuación podemos hacer:
    \(\displaystyle x^2 +2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-2\mp \sqrt{4+12}}{2} = \left\{
    \begin{array}{c}
    x= 1 \\
    x=-3 \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Con lo que tenemos :
    \(|(x-1)(x+3)|< \varepsilon\)
Si tomamos :
    \(\begin{array}{l} |x-1|< 1 \Rightarrow 0 < x < 2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow |x+3|<5 \Rightarrow |x^2+2x-3|< |x-1||x+3|< 5|x-1| \end{array}\)
Podemos hacer:
    \(\displaystyle |x-1|< \frac{\varepsilon}{5}\)
De donde se deduce que hemos de tomar un valor de \(\alpha = \min(1, \varepsilon/5)\), por lo que tendremos:
    \(\forall \;\varepsilon \geq 5 \Rightarrow \alpha = 1 \quad; \quad \forall \;\varepsilon < 5 \Rightarrow \alpha =\varepsilon/5\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás