PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Demostrar que el límite de la función :
    \( \displaystyle \lim _{x\rightarrow 6}f (x) = \frac{x^2 - 9}{x-3} = 6 \)
Cuando la variable independiente tiende a 3

Respuesta al ejercicio 3
Se dice que una función f(x) definida en un entorno de un punto xo salvo quizás el propio punto xo tiene por límite L en el punto xo si se tiene :
    \(\displaystyle \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; \alpha > 0 / \forall x \neq x_o \:y \: |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon \)
Según eso podemos hacer :
    \(\displaystyle \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; \alpha > 0 / \forall x \neq x_o \:y \: |x-x_o|< \alpha \Rightarrow |\frac{x^2 -9}{3-x} - 6|< \varepsilon \)
Haciendo operaciones tenemos:
    \(\displaystyle \left|\frac{x^2 -9}{3-x} - 6\right| = \left|\frac{(x+3)(x-3)}{3-x} - 6\right| = |x+3-6| = |x-3|< \varepsilon \)
Es decir \(\alpha\) será igual a \(\varepsilon\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás