PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 49

Para resolver la integral dada, consideramos el teorema de Cauchy, según el cual se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C \frac{dz}{(z-a)^n}= 0 \;Si\; n\neq 1 \\  \\ \oint_C \frac{dz}{(z-a)}=\left\{ \begin{array}{l} 2\pi i \; si \; C \textrm{ encierra al punto}\; a \\  \\ 0 \textrm{ en caso contrario} \\ \end{array} \right. \end{array} \)
Por lo tanto, lo primero que tenemos que hacer es expresar la función integrando como suma de fracciones simples. Tenemos:
    \(\displaystyle \frac{z}{(z-1)(z+2i)}= \frac{A}{(z-1)} + \frac{B}{(z+2i)} \)
Quitando denominadores e igualando coeficientes obtenemos:
    \(z = (z + 2i)A + (z - 1)B \rightarrow A + B = 1 \;;\; 2Ai - B = 0 \)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle A = \frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{5}\; ; \; B = \frac{2i}{1+2i} = \frac{4+2i}{5} \)
Con lo cual:
    \(\displaystyle \frac{z}{(z-1)(z+2i)} = \frac{1-2i}{5}\frac{1}{(z-1)} + \frac{4+2i}{5}\frac{1}{(z+2i)} \)
Y la integral se puede escribir:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{zdz}{(z-1)(z+2i)} =\frac{1-2i}{5} \oint_C \frac{dz}{(z-1)} + \frac{4+2i}{5} \oint_C \frac{dz}{(z+2i)} \)
Para cada una de estas integrales, el contorno dado encierra a la singularidad simple del integrando, por lo tanto:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{zdz}{(z-1)(z+2i)} =\frac{1-2i}{5} 2\pi i + \frac{4+2i2i}{5} 2\pi i = 2\pi i \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás