PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 50

Recordamos que el teorema de Cauchy, expresa:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C \frac{dz}{(z-a)^n}= 0 \;Si\; n\neq 1 \\  \\ \oint_C \frac{dz}{(z-a)}=\left\{ \begin{array}{l} 2\pi i \; si \; C \textrm{ encierra al punto}\; a \\  \\ 0 \textrm{ en caso contrario} \\ \end{array} \right. \end{array} \)
Por lo tanto, para calcular la integral indicada en cualquiera de los supuestos dados, expresamos la función integrando como suma de fracciones simples. Resulta:

    \(\displaystyle \frac{1}{z^2+9}= \frac{1}{(z-3i)(z+3i)} = \frac{A}{z-3i} + \frac{B}{z+3i} \)
Quitando denominadores e igualando coeficientes obtenemos:
    \(1 = (z + 3i)A + (z - 3i)B \rightarrow A + B = 0 \;;\; 3Ai - 3Bi = 1\)
Y a partir de ahí:

    \(\displaystyle A = \frac{1}{6i} = - \frac{i}{6} ; B = - \frac{1}{6i} = \frac{i}{6} \)
Con lo cual:

    \(\displaystyle \frac{1}{z^2 + 9} = - \frac{i}{6}\frac{1}{(z-3i)} + \frac{i}{6}\frac{1}{(z+3i)} \)
Y la integral se puede escribir:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{dz}{z^2 + 9} = - \frac{i}{6}\oint_C\frac{dz}{(z-3i)} + \frac{i}{6}\oint_C\frac{dz}{(z+3i)} \)
De ese modo, resulta fácil encontrar que en el primer caso la integral vale:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{dz}{z^2 + 9} = - \frac{i}{6} \times 2 \pi i = \frac{\pi}{3} \)
En el segundo:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{dz}{z^2 + 9} = \frac{i}{6} \times 2 \pi i = -\frac{\pi}{3} \)
Y en el tercero:
    \(\displaystyle \oint_C \frac{dz}{z^2 + 9} = \left(- \frac{i}{6} \times 2\pi i\right) + \left( \frac{i}{6} \times 2\pi i\right) = 0 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás