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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 47

Como ya hemos hecho en otros ejemplos, lo primero que tenemos que hacer es escribir el integrando en función de las variables x e y, y separar las partes real e imaginaria:

    \(\begin{array}{l} z = x + iy \;;\; z^3 = x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2) \; ;\; dz = dx + idy \rightarrow \\ z^3 · dz = [x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2)](dx + idy) = \{x(x^2 - 3y^2)dx - \\ - y(3x^2 - y^2)dy\} + i\{y(3x^2 - y^2)dx + x(x^2 - 3y^2)dy\} \end{array}\)
Sustituyendo el valor obtenido en la integral inicial nos queda:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C z^3·dz = \oint_C \{(x^2-3y^2)dx - y(3x^2-y^2)dy\} + \\ + i\oint_C \{y(3x^2-y^2)dx + x(x^2 - 3y^2)dy\} \end{array} \)
Y hemos transformado la integral inicial en la suma de dos integrales de línea reales.
Para realizar la integración, hemos de tener en cuenta que la trayectoria total puede dividirse en dos trayectorias parciales; la primera de ellas va desde el punto (1-i) hasta el punto (-4-i) tenemos y = -1 ; dy = 0, con lo que la integración en esa parte nos da:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_1^{-4}(x^3- 3x)dx- i \oint_1^{-4}(3x^2-1)dx = \\ = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_1^{-4} - i\left[x^3-x\right]_1^{-4} = \frac{165}{4} - 60i \end{array} \)
La segunda parte de la trayectoria de integración, va desde (-4-i) hasta (-4+3i), tenemos x = -4; dx = 0 y resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{-1}^3\{-(48y-y^3)\}dy - i\oint_{-1}^3\{(64-12y^2)\}dy = \\ \left[24y^2 - \frac{1}{4}y^4\right]_{-1}^3 - i \left[64y-4y^3\right]_{-1}^3= -172 - 144i \end{array} \)
Y el resultado total será:
    \(\displaystyle \left(\frac{165}{4} + 60i\right)+ (-172-144i) = - \frac{523}{4} - 84i \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás