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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular el valor de la integral de variable compleja:
    \(\displaystyle \oint_C z^3·dz \)
A lo largo de una trayectoria, C, con origen en 1-i y final en -4+3i, compuesta por dos rectas, la primera desde el punto inicial hasta el punto -4-i y la segunda desde este último punto hasta el final.

- Respuesta 47


Como ya hemos hecho en otros ejemplos, lo primero que tenemos que hacer es escribir el integrando en función de las variables x e y, y separar las partes real e imaginaria:

    \(\begin{array}{l} z = x + iy \;;\; z^3 = x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2) \; ;\; dz = dx + idy \rightarrow \\ z^3 · dz = [x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2)](dx + idy) = \{x(x^2 - 3y^2)dx - \\ - y(3x^2 - y^2)dy\} + i\{y(3x^2 - y^2)dx + x(x^2 - 3y^2)dy\} \end{array}\)
Sustituyendo el valor obtenido en la integral inicial nos queda:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C z^3·dz = \oint_C \{(x^2-3y^2)dx - y(3x^2-y^2)dy\} + \\ + i\oint_C \{y(3x^2-y^2)dx + x(x^2 - 3y^2)dy\} \end{array} \)
Y hemos transformado la integral inicial en la suma de dos integrales de línea reales.
Para realizar la integración, hemos de tener en cuenta que la trayectoria total puede dividirse en dos trayectorias parciales; la primera de ellas va desde el punto (1-i) hasta el punto (-4-i) tenemos y = -1 ; dy = 0, con lo que la integración en esa parte nos da:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_1^{-4}(x^3- 3x)dx- i \oint_1^{-4}(3x^2-1)dx = \\ = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_1^{-4} - i\left[x^3-x\right]_1^{-4} = \frac{165}{4} - 60i \end{array} \)
La segunda parte de la trayectoria de integración, va desde (-4-i) hasta (-4+3i), tenemos x = -4; dx = 0 y resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_{-1}^3\{-(48y-y^3)\}dy - i\oint_{-1}^3\{(64-12y^2)\}dy = \\ \left[24y^2 - \frac{1}{4}y^4\right]_{-1}^3 - i \left[64y-4y^3\right]_{-1}^3= -172 - 144i \end{array} \)
Y el resultado total será:
    \(\displaystyle \left(\frac{165}{4} + 60i\right)+ (-172-144i) = - \frac{523}{4} - 84i \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás