PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de variable compleja

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular el valor de la integral de variable compleja:
    \(\displaystyle \oint_C z^2dz \)
A lo largo de una trayectoria, C, con origen en -1+i y final en 5+3i, compuesta por dos rectas, la primera desde el punto inicial hasta el punto 5+i y la segunda desde este último punto hasta el final.

- Respuesta 46


Lo primero que hacemos es escribir el integrando en función de las variables x e y, y separar las partes real e imaginaria. Resulta:

    \(\begin{array}{l} z = x + iY \;; \;\; x^2 - y^2 + i2xy ; dz = dx + idy \rightarrow \\ \rightarrow z^2 = (x^2 - y^2 + i2xy)(dx + idy)= \{(x^2 -y^2)dx - \\ - 2xydy\} + i\{(x^2-y^2)dy + 2xydx\} \end{array}\)
Por lo que sustituyendo en la integral inicial nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \oint_C z^2dz = \oint_C\{(x^2-y^2)dx - 2xydy\}+ \\ + i \oint_C\{(x^2-y^2)dy - 2xydx\} \end{array} \)
Y tenemos la integral inicial expresada como la suma de dos integrales de línea reales.
En la primera parte de la trayectoria de integración, desde (-1+i) hasta (+5+i) tenemos y = 1 ; dy = 0, con lo que la integración en esa parte nos da:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \oint_{-1}^5 (x^2-1)dx + i \oint_{-1}^5 2xdx = \\
    = \left[\frac{1}{3}·x^3 - x\right]_{-1}^5 + i[x^2]_{-1}^5 = 38 + 26·i
    \end{array}\)
En la segunda parte de la trayectoria de integración, desde (+5+i) hasta (+5+3i), tenemos x = 5; dx = 0 y resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_1^3 (-10y)dy + i \oint_1^3 (25-y^2)dy = \\= [-5y^2]_1^3 + i\left[25y-\frac{1}{3}y^3\right]_1^3 = -40 + \frac{124}{3}i \end{array}\)
Y el resultado total será:

    \(\displaystyle (38 + 26i)+ \left( -40 + \frac{124}{3}i\right) = -2 + \frac{202}{3}i\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás