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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 42

La relación entre la variable compleja z y las variables reales x e y viene dada por:
    \( z = x + iy\)
Por lo tanto, podemos escribir:
    \( \sin z = \sin (x + iy) \;;\; \cos z = \cos (x + iy) \)
Y teniendo en cuenta las identidades trigonométricas:



Tenemos:
    \( \begin{array}{c} \sin (x + iy) = \sin (x)\cos (iy) + \cos (x) \sin (iy) \\  \\ cos (x + iy) = \cos (x)\cos (iy) - \sin (x) \sin (iy) \end{array} \)
Por otro lado, las funciones trigonométricas y la función exponencial pueden relacionarse por la expresión:
    \(e^{ia} = \cos a + i\sin a \)
Con lo cual:



Y a partir de ahí:



Pero sabemos que las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen a partir de las expresiones:



Lo que nos permite poner:



Y con ello:
    \(\begin{array}{l} \sin z = \sin (x + iy) = \sin (x)\cosh (y) + i\cos (x) \sinh (y) \\ \cos z = \cos\cos (x + iy) = \cos (x)\cosh (iy) - i\sin (x) \sinh (y) \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás