PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 41

Sabemos que se cumple:
    \( z = x + iy\)
Por lo tanto, para la primera de las funciones hacemos:
    \( f(z) = z^3 = (x + iy)^3\)
Y desarrollando el binomio:
    \( (x + iy)^3 = x^3 + 3x^2 iy + 3x(iy)^2 + (iy)^3\)
Pero recordando el valor de la unidad imaginaria:
    \( (x + iy)^3 = x^3 + 3x^2 iy - 3xy^2 - iy^3\)
Por lo que, finalmente,
    \( f(z) = z^3 \;; \; f(u, v) = x(x^2 - 3y^2) + iy(3x^2 - y^2)\)
Antes de transformar la segunda de las expresiones recordamos la relación entre z y su complejo conjugado:
    \( \textrm{Si} z = (x + iy) \rightarrow \bar{z} = (x - iy)\)
Teniendo en cuenta la anterior relación, hacemos:



Para llegar al resultado deseado, debemos racionalizar la expresión fraccionaria; para ello multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador:



Y volviendo a la expresión general:

EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás