PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 39

Para el primer apartado, tenemos que la función tendrá polos simples en los puntos en los que se verifique:
    \(1 - \cos z = 0 \;;\; \cos z = 1 \;; \; z = 2k\pi \;;\; k = 0, 1, 2, ... \)
Para la segunda función podemos escribir:
    \(\tan z = \frac{\sin z}{\cos z} \)
Y la función tendrá polos simples en los puntos en los que se verifique cos z = 0
    \(\cos z = 0 \Rightarrow |cos z|^2 = \cos^2 x + \sinh^2 y = 0 \)
En consecuencia, deben tenerse simultáneamente las ecuaciones:
    \(\cos x = 0 \;; \; \sinh y = 0 \)
De donde resulta:
    \(\displaystyle x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \Rightarrow x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \)
Con :
    \(n = 0, 1; 2, ... \; ; \; 2y = 0 \Rightarrow y = 0 \)
Y, por consiguiente, la función tang z tendrá polos simples en los puntos que cumplan:

    \(\displaystyle z = \left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \textrm{ con } n = 0, 1, 2, ... \)

Para la tercera función, el único punto en el que surgen dificultades es z = 0, y en él se tiene una singularidad esencial puesto que no existe α > 0 que verifique:

    \(\displaystyle \lim_{\begin{array}{c} z\rightarrow 0 \\ z \neq 0 \end{array} }(z-0)^\alpha f(z)\)
Puesto que aplicando la regla de L’Hopital tenemos:
    \( \displaystyle \lim_{\begin{array}{c} z\rightarrow 0 \\ z \neq 0 \end{array} }z^n\frac{1}{z^2} \exp \left(\frac{1}{z^2}\right) = \lim_{\begin{array}{c} z\rightarrow 0 \\ z \neq 0 \end{array} }\frac{z^{n-2}}{\exp \left(-\frac{1}{z^2}\right)}\)
Resulta entonces una indeterminación del tipo 0/0 que no podemos eliminar por grande que sea “n” y podemos concluir que z = 0 es una singularidad esencial para la función estudiada.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás