PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 37

Para obtener los ceros de f(z) ponemos cos z y sin z en forma exponencial:



Operando y reagrupando términos nos queda:



Para que la expresión obtenida sea nula deberá serlo el término entre paréntesis, es decir:

    \( 1 + \cos 4z = 0 \)

Pero teniendo en cuenta que se tiene:
    \( \cos 4z = \cos^2 2z - \sin^2 2z = 2\cos^2 2z - 1 \)
Resulta:
    \( (2\cos^2 2z - 1) + 1 = 2\cos^2 2z = 0 \)
Tenemos entonces que la última expresión es nula si y solo si lo es cos 2z; por lo tanto:
    \( \cos 2z = 0 \Rightarrow |\cos 2z|^2 = 0 \)
Y tenemos:
    \( |\cos 2z|^2 =\cos ^2 2x + \sinh^2 2y = 0 \)
En consecuencia, deben tenerse simultáneamente las ecuaciones:
    \( \cos 2x = 0 \; ; \; \sinh 2y = 0 \)
De donde resulta:



Con lo que los ceros de f(z) serán todos los puntos que cumplan:
    \(\displaystyle z = \frac{1}{2}\left(n + \frac{1}{2}\right)\pi \textrm{ con }
    n = 0, 1, 2, ... \)
Siendo todos reales.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás