PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 36

Podemos escribir:
    \( w = P(x, y)dx + Q(x,y)dy \; ; \)
Con :
    \( P(x, y) = x^3 - y^3 + 2xy ; Q(x, y) = x^2 + y^2 - 3xy^2 \)
Las primeras derivadas parciales de estas expresiones son:



Vemos que estas funciones son coninuas∀(x, y) ∈ R² por lo que P(x, y) y Q(x, y) son de C¹(R²). Además se tiene:



Por lo que w es una forma diferencial cerrada en R².

Para ver donde es exacta, intentamos encontrar una función F(x,y) tal que dF sea idénticamente igual a w. Tenemos:



Para conocer el valor de φ(y) derivamos la expresión anterior respecto a la variable y e igualamos a Q:



Y despejando de esta última ecuación el valor que nos interesa:



Con lo que resulta:



Y puesto que F es de clase C1 en R2, podemos decir que w es una forma diferencial exacta en R2.

Para escribir w en función de z y z hacemos:



Y sustituyendo en w:



Por lo que operando podemos llegar a:

EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás