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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 34

Se denomina cero de una función f(z) de variable compleja a un valor específico de z para el cual f(z) = 0. Si además se cumple:
    \(f'(z_o) = f"(z_o) = ... = f^{m-1}(z_o) = 0\; ; \; f^m (z_o) \neq 0 \)
Se dice que zo es un cero de orden m.
En nuestro caso, podemos apreciar a simple vista que z = 0 es un cero simple para la función dada pues tenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    f(z=0) = (1-e^0)(0^2 + 4)^4 = 0 \\
    \\
    \left.f'(z)\right|_{z=0} = \left[-e^z(z^2+4)^4+8z(1-e^z)(z^2+4)^4\right]_{z=0} = -4^4 \neq 0
    \end{array} \)
Por otra parte, de la ecuación\(z^2 + 4 = 0\) deducimos que +2i y -2i también son ceros de f(z). Para saber el orden de cada uno de ellos obtenemos las derivadas sucesivas. Resulta sencillo comprobar que hasta la derivada tercera incluida todas ellas son nulas por contener todos sus términos factores de la forma (z²+4) que se anulan para los valores +2i y -2i.

En la siguiente derivación, ocurre igual salvo con un término de la forma:
    \(384·z^4(1-e^z) \)
Para el que tenemos:
    \(\begin{array}{l} f^{IV}(z=-2i) = 0 + 384(-2i)^4(1-e^{-2i}) = \\= 384\times 16 - \cos 2 + i\sin 2) \neq 0 \\ \\ f^{IV}(z=+2i) = 0 + 384(+2i)^4(1-e^{+2i}) =\\ = 384\times 16 - \cos 2 - i\sin 2) \neq 0 \end{array} \)
Así pues, el orden de cada uno de estos ceros es 4.
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás