PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Sean las series:
    \(\displaystyle A(z) \equiv \sum_{k=1}^\infty a_kz^k \quad ; \quad B(\xi) \equiv \sum_{k=1}^\infty b_k\xi^k \)
Calcular los tres primeros términos de la serie C(z) que resulta de la composición:
    \(\displaystyle C(z) \equiv B[A(z)]\equiv \sum_{n=1}^\infty c_nz^n \)
Si \(\rho_A \; y \; \rho_B\) son los radios de convergencia de A(z) y B(ξ) , respectivamente, ¿qué condición se ha de cumplir para que C(z) sea convergente en algún disco D(0, ρc), ρc ≠ 0 ?

- Respuesta 33


En la región en la que exista la función compuesta, tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    C(z)\equiv B[A(z)]= B\left[\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\right] = \sum_{n=1}^\infty b_k \left(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\right)^k = \\
    \\
    = \sum_{n=1}^\infty b_k \left(\sum_{n=1}^\infty a_n^k\right)z^{nk} = \sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty b_ka_n^k\right)z^{nk}
    \end{array}\)
Y los tres primeros coeficientes de la serie vendrán dados por:
    \(\displaystyle C_1 = \sum_{n=1}^\infty b_1a_n\quad ; \quad C_2 = \sum_{n=1}^\infty b_2a_n^2\quad ; \quad \quad C_3 = \sum_{n=1}^\infty b_3a_n^3 \)
Para que C(z) sea convergente en algún disco\(D(0,\rho_c), \rho_c \neq 0\) , se debe cumplir:
    \(\displaystyle |a_1-\xi_o| + \sum_{n=1}^\infty |a_nz_n| < \rho_B \)
Siendo a1 el primer coeficiente de A(z), ξo el centro del disco de convergencia de B(z) y ρB el radio de convergencia de B(z).

En esas condiciones, la función compuesta B[A(z)] admite desarrollo en serie para todo z tal que |z| < ρA, donde ρA > 0 es el radio de convergencia de A(z).
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás