Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Calcular por el método de residuos:

\(\displaystyle I = \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1 - 2a·\cos \theta + a^2}\quad 0 < a < 1 \)

- Respuesta 32

Tenemos una integral del tipo:

\(\displaystyle I = \int_0^{2\pi}R(\cos \theta , \sin \theta)d\theta \)

Hacemos el cambio:

\(\displaystyle \begin{array}{l} z = e^{i\theta} \quad \bar{z} = \frac{1}{z} = e^{-i\theta}\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)\quad ; \\  \\ dz = i·e^{i\theta}d\theta = i·z·d\theta \Rightarrow d\theta = \frac{dz}{i·z} \end{array}\)

Con lo cual, la integral quedará:

\(\displaystyle\begin{array}{l} I = \int_C \frac{dz/i·z}{1- 2a·\frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)+ a^2} = \\  \\ = \frac{1}{i}\int_C \frac{dz}{z-a(z^2 +1)+a^2z}= i\int_C \frac{dz}{az^2-(a^2 +1)z+a} \end{array} \)

Donde C es el círculo de radio 1 y centro en el origen, |z| = 1

Calculamos los polos de f(z). Tenemos:

\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{az^2 - (a^2+1)z + a} = \frac{1}{a\left[ \displaystyle z^2- \left(a+\frac{1}{a}\right)z+1\right]} \)

Y a partir de ahí:

\(\displaystyle z^2- \left(a+\frac{1}{a}\right)z+1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z_1 = a \\ \\ z_2 = \frac{1}{a} \\ \end{array} \right. \)

Teniendo en cuenta los valores de a, sólo z₁ queda dentro del círculo de radio 1 y centro en el origen, |z| = 1 .De ese modo:

\(\displaystyle \textrm{ Res }[f(z), a]= \lim_{z\rightarrow a}(z-a)\frac{1}{ \displaystyle a\left(z-\frac{1}{a}\right)(z-a)} = \frac{1}{a^2-1} \)

De donde, aplicando la fórmula de Cauchy:

\(\displaystyle I = i·2\pi·i· \frac{1}{a^2-1} = \frac{2\pi}{1- a^2} \)