PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 32

Tenemos una integral del tipo:
    \(\displaystyle I = \int_0^{2\pi}R(\cos \theta , \sin \theta)d\theta \)
Hacemos el cambio:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} z = e^{i\theta} \quad \bar{z} = \frac{1}{z} = e^{-i\theta}\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)\quad ; \\  \\ dz = ie^{i\theta}d\theta = izd\theta \Rightarrow d\theta = \frac{dz}{iz} \end{array}\)
Con lo cual, la integral quedará:
    \(\displaystyle\begin{array}{l} I = \int_C \frac{dz/iz}{1- 2a\frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)+ a^2} = \\  \\ = \frac{1}{i}\int_C \frac{dz}{z-a(z^2 +1)+a^2z}= i\int_C \frac{dz}{az^2-(a^2 +1)z+a} \end{array} \)
Donde C es el círculo de radio 1 y centro en el origen, |z| = 1

Calculamos los polos de f(z). Tenemos:
    \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{az^2 - (a^2+1)z + a} = \frac{1}{a\left[ \displaystyle z^2- \left(a+\frac{1}{a}\right)z+1\right]} \)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle z^2- \left(a+\frac{1}{a}\right)z+1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z_1 = a \\ \\ z_2 = \frac{1}{a} \\ \end{array} \right. \)
Teniendo en cuenta los valores de a, sólo z1 queda dentro del círculo de radio 1 y centro en el origen, |z| = 1 .De ese modo:
    \(\displaystyle \textrm{ Res }[f(z), a]= \lim_{z\rightarrow a}(z-a)\frac{1}{ \displaystyle a\left(z-\frac{1}{a}\right)(z-a)} = \frac{1}{a^2-1} \)
De donde, aplicando la fórmula de Cauchy:
    \(\displaystyle I = i2\pii \frac{1}{a^2-1} = \frac{2\pi}{1- a^2} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás