PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 31

Para obtener la transformada z-inversa podemos hacerlo por el método de la integral de inversión, es decir:
    \(f(k) = \sum [\textrm{Residuos} F(z)Z^{k-1}\textrm{en los polos de } F(z)] \)
O lo que es igual:
    \(\displaystyle f(k) = \sum \textrm{Res}\left.\left[\frac{z^3-2z^2+z+1}{z^3-z^2-8z+12}z^{k-1}\right]\right|_{z=z_o} \)
Y tenemos:
    \(\displaystyle F(z) = \frac{z^3-2z^2+z+1}{z^3-z^2-8z+12} = \frac{z^3-2z^2+z+1}{(z+3)(z+2)^2} \)
Con lo cual:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f(k) = \textrm{Res}\left.\left[\frac{z^3-2z^2+z+1}{z^3-z^2-8z+12}z^{k-1}\right]\right|_{z=-3}+ \\  \\ + \sum \textrm{Res}\left.\left[\frac{z^3-2z^2+z+1}{z^3-z^2-8z+12}z^{k-1}\right]\right|_{z=2} \end{array}\)
Y operando:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    f(k) = \left.\left\{\frac{z^3-2z^2+z+1}{(z-2)}·z^{k-1}\right\}\right|_{z=-3}+\\ + \frac{d}{dz}\left.\left[\frac{z^3-2z^2+z+1}{(z-3)}·z^{k-1}\right]\right|_{z=2} = \\
    \\
    = \frac{11}{75}(-3)^k + \frac{2^k}{100}[77+95k]
    \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás