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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 30

Siendo I(C) y E(C) el interior y exterior del círculo complejo, respectivamente, la fórmula de Cauchy se escribe:
    \(\displaystyle \frac{1}{2\pii}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_o}dz = \left\{ \begin{array}{l} f(z_o)\textrm{ si } z_o \in I(C) \\ \\ 0 \textrm{ si } z_o \in E(C) \\ \end{array} \right. \)
Primera integral. Para poder aplicar la fórmula tomamos \(f(z) = e^z\) y descomponemos en fracciones simples la expresión que multiplica a f(z)
    \(\displaystyle \frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{(z+i)(z-i)} = \frac{A}{z+i}+ \frac{B}{z-i} = \frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i}- \frac{1}{z-i}\right) \)
Y la integral queda:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C \frac{e^z}{z^2+1} = \frac{i}{2}\oint_C \left(\frac{e^z}{z+i}+ \frac{e^z}{z-i}\right)dz = \\  \\ = \frac{i}{2}2\pii(e^{-i}- e^i)= 2\pii\sin 1 \end{array} \)
Para obtener la segunda integral tomamos f(z) = (z + 2) y pasamos a fracciones simples la expresión que multiplica a f(z):
    \(\displaystyle \frac{1}{z^2-1} = \frac{1}{(z+1)(z-1)} = \frac{A}{z+1}+ \frac{B}{z-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-1}- \frac{1}{z+1}\right) \)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \oint_C \frac{z+2}{z^2+1} = \frac{1}{2}\oint_C \left(\frac{1}{z-1}+ \frac{1}{z+1}\right)(z+2)dz = \\  \\ = \frac{1}{2}(3)2\pii - \frac{1}{2}2\pii = 2\pii \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás