Ejercicios de cálculo en variable Compleja

Ver si existe f’(0) para la función:

\(\displaystyle f(z) = \frac{(x^3-y^3) + i(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)}\quad \textrm{ si } z\neq 0 \;;\; f(z) \quad \textrm{ si } z=0 \)

Y si se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemann en (0, 0)

- Respuesta 28

Podemos hacer como sigue:

\(\displaystyle \begin{array}{l} f'(0) = \lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)}{z}= \\  \\ = \lim_{z\rightarrow 0}\left[\frac{x(x^3 - y^3)+ y(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}+ i \frac{- y(x^3 - y^3)+ x(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \right] \end{array}\)

Donde hemos considerado \(z = x+i·y\).
Supongamos que z = 0 para y = m·x, tenemos:

\(\displaystyle \begin{array}{l} f'(0) = \\  \\ \lim_{z\rightarrow 0}\left[\frac{x^4(1 - m^3)+ mx^4(1+m^3)}{x^4(1+m^2)^2}+ i \frac{m x^4(1 - m^3)+ x^4(1+m^3)}{x^4(1+m^2)^2} \right] \end{array}\)

Dependiendo de la recta que tomemos, el límite toma distintos valores; por consiguiente, no existe el límite de la expresión anterior y, por tanto, tampoco existe f’(0).
Veamos ahora si se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemann en (0, 0):

\(\displaystyle \begin{array}{l} P(x,y) = \frac{(x^3- y^3)}{(x^2+y^2}\;;\; \\ \\ P(x,0) = x \;;\; P(0,y) = -y \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial x}\right|_{(0,0)} = 1 \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial y}\right|_{(0,0)} = -1\\ \\ \\ Q(x,y) = \frac{(x^3- y^3)}{(x^2+y^2}\;;\;\\ \\ Q(x,0) = x \;;\; P(0,y) = y \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial x}\right|_{(0,0)} = 1 \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial y}\right|_{(0,0)} = 1 \end{array} \)

Y tenemos P_x = Q_y ; P_y = - Q_x, por lo que si se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman en el punto (0, 0).