PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de variable compleja

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 28

Podemos hacer como sigue:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f'(0) = \lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)}{z}= \\  \\ = \lim_{z\rightarrow 0}\left[\frac{x(x^3 - y^3)+ y(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}+ i \frac{- y(x^3 - y^3)+ x(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \right] \end{array}\)
Donde hemos considerado \(z = x+i·y\).
Supongamos que z = 0 para y = m·x, tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} f'(0) = \\  \\ \lim_{z\rightarrow 0}\left[\frac{x^4(1 - m^3)+ mx^4(1+m^3)}{x^4(1+m^2)^2}+ i \frac{m x^4(1 - m^3)+ x^4(1+m^3)}{x^4(1+m^2)^2} \right] \end{array}\)
Dependiendo de la recta que tomemos, el límite toma distintos valores; por consiguiente, no existe el límite de la expresión anterior y, por tanto, tampoco existe f’(0).
Veamos ahora si se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemann en (0, 0):
    \(\displaystyle \begin{array}{l} P(x,y) = \frac{(x^3- y^3)}{(x^2+y^2}\;;\; \\ \\ P(x,0) = x \;;\; P(0,y) = -y \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial x}\right|_{(0,0)} = 1 \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial y}\right|_{(0,0)} = -1\\ \\ \\ Q(x,y) = \frac{(x^3- y^3)}{(x^2+y^2}\;;\;\\ \\ Q(x,0) = x \;;\; P(0,y) = y \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial x}\right|_{(0,0)} = 1 \;;\; \left. \frac{\partial P}{\partial y}\right|_{(0,0)} = 1 \end{array} \)
Y tenemos Px = Qy ; Py = - Qx, por lo que si se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman en el punto (0, 0).
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás