PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 29

La fórmula de Cauchy expresa:
    \(\displaystyle \frac{1}{2\pii}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_o}dz = \left\{ \begin{array}{l} f(z_o)\textrm{ si } z_o \in I(C) \\ \\ 0 \textrm{ si } z_o \in E(C) \\ \end{array} \right. \)
Siendo I(C) y E(C) el interior y exterior del círculo, respectivamente.
Y para el primer caso tenemos f(z) = z y de ese modo.
    \(\displaystyle \oint_C\frac{z}{z-3}dz =2\piif(3) = 6\pii \)
Para el segundo caso tenemos \(f(z) = e^z\) y para aplicar la fórmula de Cauchy transformamos la expresión que multiplica a f/z) en fracciones simples:
    \(\displaystyle \frac{1}{z^2-3z} = \frac{1}{z(z-3)} = \frac{A}{z}+ \frac{B}{z-3} = \frac{1/3}{z-3} - \frac{1/3}{z} \)
La integral queda entonces:
    \(\displaystyle \oint_C\frac{e^z}{z^2-3z}dz = \oint_C\left(\frac{1/3}{z-3} - \frac{1/3}{z}\right)e^z dz = -2\pii \frac{e^0}{3}= - \pii \frac{2}{3} \)
Puesto que la integral correspondiente a (z – 3) nos da 0 por ser |3| > |1|
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás