PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de variable compleja

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Ejercicios de cálculo en variable Compleja - Respuesta 27

Debemos encontrar una función v(x,y) tal que:
    \(v_y(x, y) = u_x(x, y) ; v_x(x, y) = - u_y(x, y) \)
Para ello hacemos:
    \(u_y(x, y) = e^x(-xin y - ycos y - sin y) = - v_x(x, y) \)
E integrando respecto a x:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} v = \int e^x(x\sin y + y \cos y + \sin y)dx = \\  \\ = xe^x\sin y + ye^x\cos y + \varphi(y) \end{array}\)
Y derivando esta expresión respecto de y:
    \(v_y(x, y) = x e^x \cos y + e^x\cos y - ye^x\sin y + \varphi'(y) \)
Si igualamos esta función con ux resulta \(\varphi'(y) = 0\) con lo que nos queda para la función v:
    \(v = e^x(x\sin y + y\cos y) \)
Y, por lo tanto:
    \(f(z) = e^x(x\cos y - y\sin y) + ie^x(x\sin y + y\cos y) \)
Para obtener f(z) en función de una variable compleja hacemos:
    \(f(x, 0) = f(z = x) = e^xx \Rightarrow f(z) = ze^z \)
Como regla general, se tiene que dos funciones holomorfas que cumplen determinadas relaciones algebraicas para z real las cumplen para todo z ( es decir, que si son iguales en el campo real lo son para todo z).
EJERCICIOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás